los conjuntos

TEORIA DE CONJUNTOS

El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito

CLASES DE CONJUNTOS

Conjunto Finito: Es el conjunto al que se le puede determinar su cardinalidad o puede llegar a contar su ultimo elemento.

Ejemplo:

M= {*/x es divisor de 24}

M= {1,2,3,4,6,8,12,24}

Conjunto Infinito: Es el conjunto que, por tener muchisimos elementos, no se le puede llegar a contar su ultimo elemento.

Ejemplo:

A= {*/x sea grano de sal}

Conjunto Vacio: Es el conjunto cuya cardinalidad es cero ya que carece de elementos. El simbolo del conjunto vacio O o { }.

Ejemplo:

C={*/x sea habitantes del sol}

Conjunto Unitario: Es el conjunto que solo tiene un elemento. Su cardinalidad es uno (1).

Ejemplo:

D={*/x sea vocal de la palabra "pez"}

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO


Hay tres  formas de determinar conjuntos.

• Forma Enumerativa, por Extension ó Forma Tabular:

La representacion enumerativa de un conjunto consiste en escribir uno a uno los elementos que conforman un conjunto dado.

Ejemplo:
A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c,o , n, j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.

• Por Comprension ó Forma Descriptiva:

Esta forma consiste en determinar la caracteristica comun entre los elementos que posee un conjunto.

Ejemplo:
A = { x/x es una vocal }
B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

• Forma Grafica:

En esta forma se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.

Ejemplo:

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION DE CONJUNTOS:

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:

A U B = {x / x € A o x € B}

EJEMPLOS:

Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

        a) A U C       b) B U C

• A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }
  A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }

• 
  
  B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

           B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }         B U C = {x/x € N y x > 0 < 8 }



INTERSECCION DE CONJUNTOS:

La interseccion es el conjunto formado por los elementos que son comunes entre dos o mas conjuntos dados. Se denota por  A  B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:

A  B = { x / x € A y x € B }

EJEMPLOS:

Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

         a) A  C         b)  B  C

• 
  
  A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }

           A  C = { 2 , 4 }

• 
  
  B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

            B C = { O }



DIFERENCIA DE CONJUNTOS:

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.

La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:

A - B = {x / x € A y x  B}

A - B

EJEMPLOS:

Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }

       a) A - C          b) B - C

• A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }

          A - C = { a, b, c, e }

• 
  
  B = { a, e } y C = { d, f, g }

            B - C = { a, e }


DIFERENCIA SIMETRICA:

El conjunto diferencia simétrica de A y B está formado por los elementos del universo que pertenecen a uno y solamente uno de ellos, es decir, que pertenecen a A , o a B , pero no a ambos:

EJEMPLO:

Sean:
U = { p , r , s , t }
A = { p , s }
B = { r , s }
Entonces:

COMPLEMENTO DE CONJUNTOS:

Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:

 A' = { x/x € U y x  A }

EJEMPLOS:

Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }

Su complemento de A es: A' = { m, a, r }